Упр.6.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Используем оценки

$$\frac1{2^2}<\frac1{1\cdot2},\quad \frac1{3^2}<\frac1{2\cdot3},\quad \frac1{4^2}<\frac1{3\cdot4},\ \ldots,\ \frac1{(n+1)^2}<\frac1{n(n+1)}.$$

Тогда

$$S_n=\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{(n+1)^2} < \frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\cdots+\frac1{n(n+1)}.$$

Преобразуем сумму:

$$\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)} = \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).$$

После сокращения получаем

$$S_n<1-\frac1{n+1}<1.$$

Кроме того,

$$1-\frac1{n+1}-1=-\frac1{n+1}<0,$$

значит, правая часть неравенства тоже верна.

б) Используем оценки

$$\frac1{5^2}<\frac1{1\cdot5},\quad \frac1{9^2}<\frac1{5\cdot9},\quad \frac1{13^2}<\frac1{9\cdot13},\ \ldots,\ \frac1{(4n+1)^2}<\frac1{(4n-3)(4n+1)}.$$

Тогда

$$S_n=\frac1{5^2}+\frac1{9^2}+\frac1{13^2}+\cdots+\frac1{(4n+1)^2} < \frac1{1\cdot5}+\frac1{5\cdot9}+\frac1{9\cdot13}+\cdots+\frac1{(4n-3)(4n+1)}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$\frac1{1\cdot5}=\frac14\left(1-\frac15\right),\quad \frac1{5\cdot9}=\frac14\left(\frac15-\frac19\right),\quad \frac1{9\cdot13}=\frac14\left(\frac19-\frac1{13}\right),\ \ldots$$

Тогда

$$S_n<\frac14\left[\left(1-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{13}\right)+\cdots+\left(\frac1{4n-1}-\frac1{4n+3}\right)\right].$$

После сокращения получаем

$$S_n<\frac14\left(1-\frac1{4n+3}\right)<\frac14.$$

Кроме того,

$$\frac14\left(1-\frac1{4n+3}\right)-\frac14 = -\frac1{4(4n+3)}<0,$$

значит, правая часть неравенства также верна.