Упр.6.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Проверим каждое утверждение по индукции.
$$S_n=2+7+14+\dots+(n^2+2n-1)=\frac{n(2n^2+9n+2)}{6}.$$
При $$n=1$$ получаем:
$$S_1=2,$$
а по формуле:
$$\frac{1\cdot(2\cdot1^2+9\cdot1+2)}{6}=\frac{13}{6}\ne2.$$
Следовательно, первое утверждение неверно.
$$S_n=2+7+14+\dots+(n^2+2n-1)=\frac{n(2n^2+7n+3)}{6}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac{1\cdot(2\cdot1^2+7\cdot1+3)}{6}=\frac{12}{6}=2,$$
то есть формула верна для $$n=1$$.
Пусть она верна для $$n=k$$:
$$S_k=\frac{k(2k^2+7k+3)}{6}.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+\bigl((k+1)^2+2(k+1)-1\bigr)$$
$$=\frac{k(2k^2+7k+3)}{6}+k^2+4k+2$$
$$=\frac{2k^3+7k^2+3k+6k^2+24k+12}{6} =\frac{2k^3+13k^2+27k+12}{6}.$$
С другой стороны,
$$\frac{(k+1)\bigl(2(k+1)^2+7(k+1)+3\bigr)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+11k+12)}{6} =\frac{2k^3+13k^2+23k+12}{6}.$$
Полученные выражения не совпадают, значит второе утверждение неверно.
$$S_n=2+7+14+\dots+(n^2+2n-1)=\frac{n(2n^2+9n+1)}{6}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac{1\cdot(2\cdot1^2+9\cdot1+1)}{6}=\frac{12}{6}=2,$$
то есть формула верна для $$n=1$$.
Пусть она верна для $$n=k$$:
$$S_k=\frac{k(2k^2+9k+1)}{6}.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+\bigl((k+1)^2+2(k+1)-1\bigr)$$
$$=\frac{k(2k^2+9k+1)}{6}+k^2+4k+2$$
$$=\frac{2k^3+9k^2+k+6k^2+24k+12}{6} =\frac{2k^3+15k^2+25k+12}{6}.$$
А
$$\frac{(k+1)\bigl(2(k+1)^2+9(k+1)+1\bigr)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+13k+12)}{6} =\frac{2k^3+15k^2+25k+12}{6}.$$
Значит, третье утверждение верно.
б) Проверим каждое утверждение по индукции.
$$S_n=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{4}+\frac{15}{8}+\dots+\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=2^{1-n}+2n.$$
При $$n=1$$:
$$2^{1-1}+2\cdot1=1+2=3,$$
а левая часть равна $$1$$. Значит, первое утверждение неверно.
$$S_n=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{4}+\frac{15}{8}+\dots+\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=3^{1-n}+3(n-1).$$
При $$n=1$$:
$$3^{1-1}+3(1-1)=1,$$
то есть формула верна для $$n=1$$.
Пусть она верна для $$n=k$$:
$$S_k=3^{1-k}+3(k-1).$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+\frac{2^{k+1}-1}{2^k}$$
$$=3^{1-k}+3(k-1)+2-\frac{1}{2^k}$$
и после преобразований получаем
$$S_{k+1}=3^{-k}+3k,$$
то есть формула сохраняется. Следовательно, второе утверждение верно.
$$S_n=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{4}+\frac{15}{8}+\dots+\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=2^{1-n}+2(n-1).$$
При $$n=1$$:
$$2^{1-1}+2(1-1)=1,$$
то есть формула верна для $$n=1$$.
Пусть она верна для $$n=k$$:
$$S_k=2^{1-k}+2(k-1).$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+\frac{2^{k+1}-1}{2^k}$$
$$=2^{1-k}+2(k-1)+2-\frac{1}{2^k} =2^{-k}+2k.$$
Значит, третье утверждение верно.
Ответ: а) верно третье утверждение; б) верны второе и третье утверждения.
