Упр.6.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Здесь $$S_n=\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\dots+\frac1{n(n+1)}.$$

По тождеству из задачи 6.11:

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

Тогда

$$S_n=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

Так как $$\frac{n}{n+1}<1,$$ то $$S_n<1.$$

б) Здесь $$S_n=\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\dots+\frac1{98\cdot99}.$$

Аналогично получаем:

$$S_n=\frac{98}{99}.$$

Поскольку $$\frac{98}{99}=0{,}989\ldots<0{,}99,$$ то $$S_n<0{,}99.$$

в) Здесь $$S_n=\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\frac1{5\cdot7}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$

Используем тождество

$$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$

Тогда

$$S_n=\frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\dots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}.$$

Следовательно,

$$\frac{n}{2n+1}<\frac12,$$

значит, $$S_n<0{,}5.$$

г) Здесь $$S_n=\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\frac1{5\cdot7}+\dots+\frac1{997\cdot999}.$$

Это частный случай предыдущего пункта, где $$2n+1=999,$$ значит $$n=499.$$

Тогда

$$S_n=\frac{499}{999}.$$

Поскольку $$\frac{499}{999}=0{,}499499\ldots<0{,}4996,$$ то $$S_n<0{,}4996.$$

Ответ

а) $$S_n<1$$; б) $$S_n<0{,}99$$; в) $$S_n<0{,}5$$; г) $$S_n<0{,}4996$$.