Упр.6.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть

$$S_n=\frac{1}{a(a+d)}+\frac{1}{(a+d)(a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)(a+3d)}+\cdots+\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)}.$$

а) Доказательство методом математической индукции

1) При $$n=1$$ получаем:

$$S_1=\frac{1}{a(a+d)}=\frac{1}{a(a+d\cdot 1)}.$$

Формула верна.

2) Предположим, что для некоторого $$n$$ верно:

$$S_n=\frac{n}{a(a+dn)}.$$

Докажем, что тогда

$$S_{n+1}=\frac{n+1}{a(a+d(n+1))}.$$

Действительно,

$$\begin{aligned} S_{n+1}&=S_n+\frac{1}{(a+dn)(a+d(n+1))} \\ &=\frac{n}{a(a+dn)}+\frac{1}{(a+dn)(a+d(n+1))} \\ &=\frac{n(a+d(n+1))+a}{a(a+dn)(a+d(n+1))} \\ &=\frac{na+nd(n+1)+a}{a(a+dn)(a+d(n+1))} \\ &=\frac{(n+1)(a+dn)}{a(a+dn)(a+d(n+1))} \\ &=\frac{n+1}{a(a+d(n+1))}. \end{aligned}$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb{N}$$.

б) Доказательство без использования математической индукции

Заметим, что

$$\frac{1}{(a+d(k-1))(a+dk)}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+d(k-1)}-\frac{1}{a+dk}\right).$$

Тогда сумма телескопируется:

$$\begin{aligned} S_n&=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}\right)+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+d}-\frac{1}{a+2d}\right)+\cdots+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+d(n-1)}-\frac{1}{a+dn}\right) \\ &=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+dn}\right) \\ &=\frac{1}{d}\cdot\frac{dn}{a(a+dn)} \\ &=\frac{n}{a(a+dn)}. \end{aligned}$$

Тем самым требуемое тождество доказано.