Упр.6.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажем по индукции, что

$$S_n=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$S_1=1\cdot 1!=1,$$

а правая часть равна

$$(1+1)!-1=2!-1=2-1=1.$$

Формула верна при $$n=1$$.

Предположим, что она верна при $$n=k$$:

$$S_k=1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+k\cdot k!=(k+1)!-1.$$

Тогда для $$n=k+1$$ имеем:

$$S_{k+1}=S_k+(k+1)(k+1)!.$$

Подставим предположение индукции:

$$S_{k+1}=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!.$$

Вынесем $$(k+1)!$$ за скобки:

$$S_{k+1}=(k+1)!\bigl(1+k+1\bigr)-1=(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1.$$

Значит, формула верна и для $$n=k+1$$. Следовательно, она верна для любого $$n\in\mathbb N$$.

б) Докажем по индукции, что

$$S_n=\frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+\dots+\frac n{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!}.$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac1{2!}=\frac12,$$

а правая часть равна

$$1-\frac1{(1+1)!}=1-\frac1{2!}=1-\frac12=\frac12.$$

Формула верна при $$n=1$$.

Предположим, что она верна при $$n=k$$:

$$S_k=\frac1{2!}+\frac2{3!}+\dots+\frac k{(k+1)!}=1-\frac1{(k+1)!}.$$

Тогда

$$S_{k+1}=S_k+\frac{k+1}{(k+2)!}.$$

Подставим предположение:

$$S_{k+1}=1-\frac1{(k+1)!}+\frac{k+1}{(k+2)!}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac1{(k+1)!}=\frac{k+2}{(k+2)!},$$

поэтому

$$S_{k+1}=1-\frac{k+2}{(k+2)!}+\frac{k+1}{(k+2)!} =1-\frac1{(k+2)!}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

$$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1,$$

$$\frac1{2!}+\frac2{3!}+\dots+\frac n{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!}.$$