Упр.6.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажем формулы по индукции.

а) Формула общего члена арифметической прогрессии

Пусть $$a_n=a_1+d(n-1).$$

1) При $$n=1$$ получаем:

$$a_1=a_1+d(1-1)=a_1.$$

2) Предположим, что формула верна для $$n=k$$, то есть

$$a_k=a_1+d(k-1).$$

Тогда для следующего члена:

$$a_{k+1}=a_1+d((k+1)-1)=a_1+dk=a_1+d(k-1)+d=a_k+d.$$

3) Значит, каждый следующий член арифметической прогрессии отличается от предыдущего на $$d$$, что и требовалось доказать.

б) Формула суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии

Пусть

$$S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{(2a_1+d(1-1))\cdot 1}{2}=\frac{2a_1}{2}=a_1.$$

2) Предположим, что формула верна для $$n=k$$:

$$S_k=\frac{(2a_1+d(k-1))k}{2}.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S_{k+1}&=\frac{(2a_1+d((k+1)-1))(k+1)}{2} \\ &=\frac{(2a_1+dk)(k+1)}{2} \\ &=\frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}. \end{aligned}$$

С другой стороны,

$$\begin{aligned} S_k+(a_{k+1})&=\frac{(2a_1+d(k-1))k}{2}+a_1+dk \\ &=\frac{2a_1k+dk^2-dk+2a_1+2dk}{2} \\ &=\frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}.$$

3) Значит, каждая следующая сумма первых членов арифметической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена, что и требовалось доказать.

в) Формула общего члена геометрической прогрессии

Пусть

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

1) При $$n=1$$:

$$b_1=b_1q^{1-1}=b_1q^0=b_1.$$

2) Предположим, что формула верна для $$n=k$$:

$$b_k=b_1q^{k-1}.$$

Тогда

$$b_{k+1}=b_1q^{(k+1)-1}=b_1q^k=b_1q^{k-1}\cdot q=b_kq.$$

3) Значит, каждый следующий член геометрической прогрессии в $$q$$ раз больше предыдущего, что и требовалось доказать.

г) Формула суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии

Пусть $$q\ne 1$$ и

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{b_1(1-q)}{1-q}=b_1.$$

2) Предположим, что формула верна для $$n=k$$:

$$S_k=\frac{b_1(1-q^k)}{1-q}.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S_{k+1}&=\frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q} \\ &=\frac{b_1(1-q^k)+b_1q^k(1-q)}{1-q} \\ &=\frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k \\ &=S_k+b_{k+1}. \end{aligned}$$

3) Следовательно, каждая следующая сумма членов геометрической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена, что и требовалось доказать.