Упр.53 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{x-2}{x^2+2x-8}>0$$; б) $$-\frac{x+4}{x^2+6x+8}>0$$.

а) $$\frac{x-2}{x^2+2x-8}>0$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{x-2}{(x+4)(x-2)}>0.$$

При $$x\ne 2$$ можно сократить на $$x-2$$:

$$\frac{1}{x+4}>0.$$

Так как числитель положителен, то

$$x+4>0,\quad x>-4.$$

С учётом области допустимых значений $$x\ne -4$$ и $$x\ne 2$$ получаем:

$$x\in(-4;2)\cup(2;+\infty).$$

б) $$-\frac{x+4}{x^2+6x+8}>0$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2+6x+8=(x+4)(x+2).$$

Тогда

$$-\frac{x+4}{(x+4)(x+2)}>0.$$

При $$x\ne -4$$ можно сократить на $$x+4$$:

$$-\frac{1}{x+2}>0.$$

Это равносильно неравенству

$$\frac{1}{x+2}<0,$$

значит,

$$x+2<0,\quad x<-2.$$

С учётом ОДЗ $$x\ne -4$$ и $$x\ne -2$$ получаем:

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-2).$$

Ответ: а) $$x\in(-4;2)\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-2).$$