Упр.52 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{x^2}{x-2}\geq 0$$; б) $$\frac{x+2}{(x-4)^2}\geq 0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\frac{x^2}{x-2}\ge 0.$$

Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю только при $$x=0$$. Знаменатель должен быть положительным, чтобы дробь была неотрицательной:

$$x-2>0,$$

$$x>2.$$

Точка $$x=2$$ не входит в область допустимых значений.

При $$x=0$$ значение дроби равно нулю, и это подходит.

Следовательно,

$$x\in\{0\}\cup(2;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\frac{x+2}{(x-4)^2}\ge 0.$$

Знаменатель $$(x-4)^2$$ положителен при всех $$x\ne 4$$, а значит знак дроби определяется числителем:

$$x+2\ge 0,$$

$$x\ge -2.$$

При этом нужно исключить значение $$x=4$$, так как знаменатель обращается в нуль.

Итак,

$$x\in[-2;4)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\{0\}\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in[-2;4)\cup(4;+\infty).$$