Упр.5.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите свойства модуля действительного числа: а) $$|a|\ge a$$; б) $$-|a|\le a\le |a|$$; в) $$|a|>a\Leftrightarrow a<0$$; г) $$|a|+|b|+|c|=0\Leftrightarrow a=b=c=0$$.
а) Рассмотрим два случая.
1) Если $$a \ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ значит $$|a|\ge a.$$
2) Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ а так как $$-a>a,$$ то и $$|a|>a.$$
Следовательно, $$|a|\ge a.$$
б) Докажем неравенство $$-|a|\le a\le |a|.$$
1) Если $$a\ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ поэтому $$-|a|=-a\le a\le a=|a|.$$
2) Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ поэтому $$-|a|=a\le a\le -a=|a|.$$
Итак, $$-|a|\le a\le |a|.$$
в) Докажем равносильность $$|a|>a \iff a<0.$$
Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ а значит $$|a|=-a>a.$$
Если $$|a|>a,$$ то при $$a\ge 0$$ было бы $$|a|=a,$$ что невозможно. Значит, $$a<0.$$
Следовательно, $$|a|>a \iff a<0.$$
г) Если $$|a|+|b|+|c|=0,$$ то каждое слагаемое неотрицательно, значит
$$|a|=|b|=|c|=0,$$
откуда $$a=b=c=0.$$
Обратно, если $$a=b=c=0,$$ то
$$|a|+|b|+|c|=0+0+0=0.$$
Значит, $$|a|+|b|+|c|=0 \iff a=b=c=0.$$
Ответ: все свойства доказаны.
