Упр.5.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ верно равенство:
а) $$|x|=x$$;
в) $$|x|=-x$$;
б) $$|x-7|=x-7$$;
г) $$|x^2-7x+12|=7x-x^2-12$$?

Используем определение модуля:

1. $$|x|=x$$

   Это верно тогда и только тогда, когда $$x\ge 0.$$

2. $$|x-7|=x-7$$

   По определению модуля получаем:

   $$x-7\ge 0,$$
   $$x\ge 7.$$

3. $$|x|=-x$$

   Это возможно при $$x\le 0.$$

4. $$|x^2-7x+12|=7x-x^2-12$$

   Правая часть должна быть неотрицательной, значит:

   $$7x-x^2-12\ge 0,$$
   $$x^2-7x+12\le 0.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\le 0.$$

   Отсюда

   $$3\le x\le 4.$$

Ответ: а) $$x\ge 0$$; б) $$x\ge 7$$; в) $$x\le 0$$; г) $$3\le x\le 4$$.