Упр.5.27(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: а) $$|x+2y|=4$$; в) $$x+2|y|=4$$; б) $$|x|+2y=4$$; г) $$|x|+2|y|=4$$.

Рассмотрим каждое уравнение как совокупность двух линейных уравнений, получающихся после раскрытия модуля.

а) $$|x+2y|=4$$

Тогда

$$\begin{cases} x+2y=4,\\ x+2y=-4. \end{cases}$$

Отсюда получаем две прямые:

$$y=\frac{4-x}{2}, \qquad y=\frac{-4-x}{2}.$$

График — две параллельные прямые.

б) $$|x|+2y=4$$

Рассмотрим два случая:

$$\begin{cases} x\ge 0,\\ x+2y=4 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x<0,\\ -x+2y=4. \end{cases}$$

Тогда

$$y=\frac{4-x}{2}, \quad x\ge 0; \qquad y=\frac{4+x}{2}, \quad x<0.$$

График состоит из двух лучей, сходящихся в точке $$\left(0,2\right)$$.

в) $$x+2|y|=4$$

Рассмотрим два случая:

$$\begin{cases} y\ge 0,\\ x+2y=4 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} y<0,\\ x-2y=4. \end{cases}$$

Тогда

$$y=\frac{4-x}{2}, \quad y\ge 0; \qquad y=\frac{x-4}{2}, \quad y<0.$$

График состоит из двух лучей, симметричных относительно оси $$Ox$$.

г) $$|x|+2|y|=4$$

Рассмотрим четыре случая:

$$\begin{cases} x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ x+2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<0,\\ y\ge 0,\\ -x+2y=4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x\ge 0,\\ y<0,\\ x-2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<0,\\ y<0,\\ -x-2y=4. \end{cases}$$

Получаем замкнутую фигуру — ромб с вершинами $$\left(4,0\right)$$, $$\left(-4,0\right)$$, $$\left(0,2\right)$$ и $$\left(0,-2\right)$$.

Ответ

а) две параллельные прямые $$x+2y=4$$ и $$x+2y=-4$$;

б) два луча: $$y=\frac{4-x}{2}$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=\frac{4+x}{2}$$ при $$x<0$$;

в) два луча: $$y=\frac{4-x}{2}$$ при $$y\ge 0$$ и $$y=\frac{x-4}{2}$$ при $$y<0$$;

г) ромб с вершинами $$\left(4,0\right)$$, $$\left(-4,0\right)$$, $$\left(0,2\right)$$, $$\left(0,-2\right)$$.