Упр.5.25(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 5.25. Найдите наименьшее значение функции:
   а) $$y=2+|x+5|$$;
   в) $$y=|x-2|-|x+5|$$;
   б) $$y=|x-2|+|x+5|$$;
   г) $$y=|x-2|\cdot|x+5|$$.

Найдём наименьшие значения функций.

1. $$y=2+|x+5|.$$

   Так как $$|x+5|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 2.$$

   Равенство достигается при $$x=-5.$$

   Наименьшее значение: $$2.$$

2. $$y=|x-2|+|x+5|.$$

   Рассмотрим точки $$x=-5$$ и $$x=2.$$ Между ними сумма модулей минимальна.

   При $$-5\le x\le 2$$ имеем

   $$y=(2-x)+(x+5)=7.$$

   Значит, наименьшее значение функции равно $$7.$$

3. $$y=|x-2|-|x+5|.$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$x\ge 2,$$ то $$y=(x-2)-(x+5)=-7;$$

   • если $$-5\le x<2,$$ то $$y=(2-x)-(x+5)=-2x-3;$$

   • если $$x<-5,$$ то $$y=(2-x)-(-x-5)=7.$$

   Наименьшее значение равно $$-7.$$

4. $$y=|x-2|\cdot|x+5|.$$

   Произведение модулей неотрицательно:

   $$y\ge 0.$$

   Равенство достигается при $$x=2$$ или $$x=-5.$$

   Наименьшее значение: $$0.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$7$$; в) $$-7$$; г) $$0$$.