Упр.5.23(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

5.23. а) $$y=|x-5|\cdot(x+3)$$; б) $$y=|x+3|\cdot|1-x|$$.

а) Рассмотрим модуль по частям.

Если $$x \ge 5,$$ то $$|x-5|=x-5,$$ и тогда

$$y=(x-5)(x+3)=x^2-2x-15.$$

Если $$x<5,$$ то $$|x-5|=-(x-5),$$ и тогда

$$y=-(x-5)(x+3)=-x^2+2x+15.$$

Итак,

$$y=\begin{cases} x^2-2x-15, & x\ge 5,\\ -x^2+2x+15, & x<5. \end{cases}$$

Нули функции находим из уравнения

$$|x-5|(x+3)=0,$$

откуда

$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=5.$$

Вершины соответствующих парабол:

$$y=x^2-2x-15=(x-1)^2-16,$$

значит, вершина первой параболы $$\,(1;-16).$$

$$y=-x^2+2x+15=-(x-1)^2+16,$$

значит, вершина второй параболы $$\,(1;16).$$

График функции состоит из частей этих парабол на указанных промежутках.

б) Аналогично разбиваем по знакам множителей.

Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-(x+3), \quad |1-x|=1-x,$$ поэтому

$$y=-(x+3)(1-x)=x^2+2x-3.$$

Если $$-3\le x\le 1,$$ то $$|x+3|=x+3, \quad |1-x|=1-x,$$ и

$$y=(x+3)(1-x)=-x^2-2x+3.$$

Если $$x>1,$$ то $$|x+3|=x+3, \quad |1-x|=x-1,$$ поэтому

$$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3.$$

Следовательно,

$$y=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<-3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 1,\\ x^2+2x-3, & x>1. \end{cases}$$

Нули функции:

$$|x+3|\cdot|1-x|=0 \;\Rightarrow\; x=-3 \text{ или } x=1.$$

Вершины парабол:

$$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4,$$

значит, вершина $$(-1;-4).$$

$$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4,$$

значит, вершина $$(-1;4).$$

График функции симметричен относительно прямой $$x=-1$$ и проходит через точки $$(-3;0)$$ и $$(1;0).$$

Ответ

а) $$y=\begin{cases} x^2-2x-15, & x\ge 5,\\ -x^2+2x+15, & x<5. \end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<-3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 1,\\ x^2+2x-3, & x>1. \end{cases}$$