Упр.5.22(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 5.22. Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции: а) $$y=|x-5|$$; в) $$y=2-|1-x|$$; б) $$y=|x+3|+|1-x|$$; г) $$y=|x+3|-|1-x|$$.

а) $$y=|x-5|$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(5,0\right).$$

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[0;+\infty).$$

Функция убывает на $$(-\infty;5]$$ и возрастает на $$[5;+\infty).$$

Нуль функции: $$|x-5|=0 \Rightarrow x=5.$$

б) $$y=|x+3|+|1-x|$$

Рассмотрим промежутки, где знаки выражений под модулем не меняются:

1. Если $$x\le -3,$$ то $$y=-(x+3)+(1-x)=-2x-2.$$
2. Если $$-3\le x\le 1,$$ то $$y=(x+3)+(1-x)=4.$$
3. Если $$x\ge 1,$$ то $$y=(x+3)+(x-1)=2x+2.$$

Значит, график состоит из двух лучей и горизонтального отрезка $$y=4$$ при $$x\in[-3;1].$$

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[4;+\infty).$$

Функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$

Нулей функции нет, так как $$y\ge 4.$$

в) $$y=2-|1-x|$$

Так как $$|1-x|=|x-1|,$$ получаем:

1. Если $$x\le 1,$$ то $$y=2-(1-x)=1+x.$$
2. Если $$x\ge 1,$$ то $$y=2-(x-1)=3-x.$$

График — ломаная с вершиной в точке $$\left(1,2\right).$$

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;2].$$

Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$

Нули функции:

$$2-|1-x|=0 \Rightarrow |1-x|=2 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=3.$$

г) $$y=|x+3|-|1-x|$$

Рассмотрим промежутки:

1. Если $$x\le -3,$$ то $$y=-(x+3)-(1-x)=-4.$$
2. Если $$-3\le x\le 1,$$ то $$y=(x+3)-(1-x)=2x+2.$$
3. Если $$x\ge 1,$$ то $$y=(x+3)-(x-1)=4.$$

Следовательно, график состоит из горизонтального луча $$y=-4,$$ отрезка прямой $$y=2x+2$$ и горизонтального луча $$y=4.$$

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[-4;4].$$

Функция возрастает на $$[-3;1]$$, на промежутках $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;+\infty)$$ она постоянна.

Нуль функции:

$$|x+3|=|1-x| \Rightarrow x=-1.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;5],$$ возрастает на $$[5;+\infty),$$ нуль: $$x=5.$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3],$$ возрастает на $$[1;+\infty),$$ нулей нет.

в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;2],$$ возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ нули: $$x=-1,\ 3.$$

г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-4;4],$$ возрастает на $$[-3;1],$$ нуль: $$x=-1.$$