Упр.5.21(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из условия $$|x-1|=5$$ получаем два случая:

$$x-1=5 \quad \text{или} \quad x-1=-5$$

Отсюда $$x=6$$ или $$x=-4$$.

Проверим значение выражения $$\sqrt{\dfrac{2|x+4|}{x^2-x-10}}$$.

1) При $$x=6$$:

$$\sqrt{\dfrac{2|6+4|}{6^2-6-10}}=\sqrt{\dfrac{20}{20}}=1$$

2) При $$x=-4$$:

$$\sqrt{\dfrac{2|-4+4|}{(-4)^2-(-4)-10}}=\sqrt{\dfrac{0}{10}}=0$$

Следовательно, значение выражения равно $$0$$ или $$1$$.

б) Из условия $$|x-1|<5$$ получаем:

$$-5<x-1<5$$

$$-4<x<6$$

Рассмотрим выражение

$$\sqrt{\dfrac{x^2-2x+5}{29}}$$

Заметим, что

$$x^2-2x+5=(x-1)^2+4$$

Если $$-4<x<6$$, то $$|x-1|<5$$, значит

$$0<(x-1)^2<25$$

и потому

$$4<(x-1)^2+4<29$$

То есть

$$4<x^2-2x+5<29$$

Тогда

$$\dfrac{4}{29}<\dfrac{x^2-2x+5}{29}<1$$

Следовательно,

$$\dfrac{2}{\sqrt{29}}<\sqrt{\dfrac{x^2-2x+5}{29}}<1$$

Наименьшее значение выражения равно $$\dfrac{2}{\sqrt{29}}$$, наибольшее не достигается, но при приближении к концам промежутка стремится к $$1$$.

Ответ

а) $$0$$ или $$1$$; б) $$\dfrac{2}{\sqrt{29}}<\sqrt{\dfrac{x^2-2x+5}{29}}<1$$.