Упр.5.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите все значения $$a$$, при которых $$|x-2|=a$$, если $$|x-a|=1$$; б) найдите все значения $$a$$, при которых $$|x-2a+a^2|=a$$, если $$|x-a|=2-a$$.
Рассмотрим возможные случаи по знакам выражений под модулем.
$$|x-2|=a,\quad |x-a|=1.$$
Так как $$|x-a|=1,$$ то возможны два случая:
$$x-a=1 \quad \text{или} \quad x-a=-1.$$
1) $$x-a=1 \Rightarrow x=a+1.$$ Тогда
$$|x-2|=|a+1-2|=|a-1|=a.$$
Если $$a\ge 1,$$ то $$a-1=a,$$ откуда $$a=\frac12,$$ что не подходит.
Если $$0\le a<1,$$ то $$1-a=a,$$ откуда $$a=\frac12.$$Получаем $$a=\frac12.$$
2) $$x-a=-1 \Rightarrow x=a-1.$$ Тогда
$$|x-2|=|a-1-2|=|a-3|=a.$$
Если $$0\le a<3,$$ то $$3-a=a,$$ откуда $$a=\frac32.$$
Если $$a\ge 3,$$ то $$a-3=a,$$ решений нет.
Итак, для пункта а) получаем $$a=\frac12$$ и $$a=\frac32.$$
$$|x-2a+a^2|=a,\quad |x-a|=2-a.$$
Из второго равенства следует, что $$2-a\ge 0,$$ то есть $$a\le 2.$$
Рассмотрим четыре случая.
1) $$x-2a+a^2=a,\quad x-a=2-a.$$
Тогда $$x=2,$$ и
$$2-2a+a^2=a \Rightarrow a^2-3a+2=0.$$
$$a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0,$$ значит, $$a=1$$ или $$a=2.$$
2) $$x-2a+a^2=a,\quad x-a=-(2-a).$$
Тогда $$x=2a-2,$$ и
$$2a-2-2a+a^2=a \Rightarrow a^2-a-2=0.$$
$$a^2-a-2=(a-2)(a+1)=0,$$ откуда $$a=2$$ или $$a=-1.$$
Но при $$a=-1$$ условие $$a\ge 0$$ не выполняется, поэтому остаётся $$a=2.$$
3) $$x-2a+a^2=-a,\quad x-a=2-a.$$
Тогда $$x=2,$$ и
$$2-2a+a^2=-a \Rightarrow a^2-a+2=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-8=-7<0,$$ решений нет.
4) $$x-2a+a^2=-a,\quad x-a=-(2-a).$$
Тогда $$x=2a-2,$$ и
$$2a-2-2a+a^2=-a \Rightarrow a^2+a-2=0.$$
$$a^2+a-2=(a-1)(a+2)=0,$$ откуда $$a=1$$ или $$a=-2.$$
С учётом $$a\ge 0$$ получаем $$a=1.$$
Итак, для пункта б) $$a=1$$ и $$a=2.$$
Ответ: а) $$\frac12,\ \frac32$$; б) $$1,\ 2$$.
