Упр.5.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 5.16. Решите неравенство:
   а) $$|x+4|<2x$$;
   б) $$|x^2-4x|<3x$$;
   в) $$|x-14|<8+2x$$;
   г) $$|x^2+7x|<4x+10$$.

а) $$|x+4|<2x$$

Чтобы неравенство имело смысл, нужно $$2x>0$$, то есть $$x>0$$.

При этом

$$|x+4|<2x \iff \begin{cases} x+4<2x,\\ x+4>-2x \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем $$x>4$$, из второго — $$3x>-4$$, что при $$x>0$$ выполняется автоматически. Значит,

$$x>4.$$

б) $$|x^2-4x|<3x$$

Необходимо $$3x>0$$, то есть $$x>0$$.

Тогда

$$|x^2-4x|<3x \iff \begin{cases} x^2-4x<3x,\\ x^2-4x>-3x \end{cases}$$

Получаем:

$$x^2-7x<0 \iff x(x-7)<0 \iff 0<x<7,$$

$$x^2-x>0 \iff x(x-1)>0 \iff x<0 \text{ или } x>1.$$

С учётом $$x>0$$ остаётся

$$1<x<7.$$

в) $$|x-14|\le 8+2x$$

Нужно $$8+2x\ge 0$$, то есть $$x\ge -4$$.

Тогда

$$|x-14|\le 8+2x \iff \begin{cases} x-14\le 8+2x,\\ x-14\ge -(8+2x) \end{cases}$$

Из первого: $$x\ge -22$$, из второго: $$3x\ge 6,$$ то есть $$x\ge 2.$$

С учётом области допустимых значений получаем

$$x\ge 2.$$

г) $$|x^2+7x|\le 4x+10$$

Нужно $$4x+10\ge 0$$, то есть $$x\ge -\dfrac52$$.

Рассмотрим два случая.

1) $$x^2+7x\ge 0$$, то есть $$x\le -7$$ или $$x\ge 0$$. Тогда

$$x^2+7x\le 4x+10 \iff x^2+3x-10\le 0 \iff (x+5)(x-2)\le 0,$$

откуда $$-5\le x\le 2.$$

С учётом условия $$x\le -7$$ или $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x\le 2.$$

2) $$-7<x<0$$. Тогда

$$-(x^2+7x)\le 4x+10 \iff x^2+11x+10\ge 0 \iff (x+10)(x+1)\ge 0,$$

откуда $$x\le -10$$ или $$x\ge -1.$$

С учётом $$-7<x<0$$ получаем $$-1\le x<0.$$

Объединяя результаты, имеем

$$-1\le x\le 2.$$

Ответ: а) $$x>4$$; б) $$1<x<7$$; в) $$x\ge 2$$; г) $$-1\le x\le 2$$.