Упр.5.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|x+4|=2x$$; в) $$|x^2-4x|=3x$$; б) $$|x-14|=8+2x$$; г) $$|x^2+7x|=4x+10$$.

а) $$|x+4|=2x$$

Рассмотрим два случая:

1) $$x+4=2x$$, тогда $$x=4$$.

Проверка: $$|4+4|=8$$ и $$2\cdot 4=8$$, значит, $$x=4$$ подходит.

2) $$x+4=-2x$$, тогда $$3x=-4$$, откуда $$x=-\frac{4}{3}$$.

Но при этом $$2x<0$$, а левая часть модуля неотрицательна, значит, этот корень не подходит.

б) $$|x-14|=8+2x$$

Рассмотрим два случая:

1) $$x-14=8+2x$$, тогда $$x=-22$$.

Но $$8+2x=8-44=-36<0$$, значит, корень не подходит.

2) $$14-x=8+2x$$, тогда $$3x=6$$, откуда $$x=2$$.

Проверка: $$|2-14|=12$$ и $$8+2\cdot 2=12$$.

в) $$|x^2-4x|=3x$$

Так как правая часть неотрицательна, то $$3x\ge 0$$, значит, $$x\ge 0$$.

Рассмотрим два случая:

1) $$x^2-4x=3x$$, тогда

$$x^2-7x=0$$

$$x(x-7)=0$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=7$$.

2) $$x^2-4x=-3x$$, тогда

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.

Все найденные значения удовлетворяют условию $$x\ge 0$$.

г) $$|x^2+7x|=4x+10$$

Чтобы правая часть была неотрицательной, нужно:

$$4x+10\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge -\frac{5}{2}$$.

Рассмотрим случаи по знаку выражения под модулем.

1) Если $$x^2+7x\ge 0$$, то $$x\le -7$$ или $$x\ge 0$$. Тогда

$$x^2+7x=4x+10$$

$$x^2+3x-10=0$$

$$(x+5)(x-2)=0$$

Отсюда $$x=-5$$ или $$x=2$$. С учётом условия подходят только $$x=2$$.

2) Если $$x^2+7x<0$$, то $$-7<x<0$$. Тогда

$$-(x^2+7x)=4x+10$$

$$x^2+11x+10=0$$

$$(x+1)(x+10)=0$$

Отсюда $$x=-1$$ или $$x=-10$$. С учётом условия подходит только $$x=-1$$.

Ответ: а) $$x=4$$; б) $$x=2$$; в) $$x=0,\,1,\,7$$; г) $$x=-1,\,2$$.