Упр.5.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$a_1<a_2<a_3<\dots<a_n.$$ Тогда

$$|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+\dots+|a_{n-1}-a_n|$$
$$=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\dots+(a_n-a_{n-1})$$
$$=a_n-a_1=|a_n-a_1|=|a_1-a_n|.$$

Утверждение доказано.

б) Пусть $$n<\sqrt a<n+1.$$ Тогда

$$|1-\sqrt a|+|2-\sqrt a|+|3-\sqrt a|+\dots+|n-\sqrt a|+n|\sqrt a-n-1|$$
$$=(\sqrt a-1)+(\sqrt a-2)+(\sqrt a-3)+\dots+(\sqrt a-n)+n((n+1)-\sqrt a)$$
$$=\left(n\sqrt a-(1+2+3+\dots+n)\right)+n(n+1-\sqrt a)$$
$$=\left(n\sqrt a-\frac{n(n+1)}{2}\right)+n(n+1)-n\sqrt a$$
$$=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Утверждение доказано.