Упр.5.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|\sqrt{51}-7|+|\sqrt{51}-5\sqrt{3}|+|\sqrt{75}-11|$$

$$=|\sqrt{51}-\sqrt{49}|+|\sqrt{51}-\sqrt{75}|+|\sqrt{75}-\sqrt{121}|$$

Так как $$\sqrt{49}<\sqrt{51}<\sqrt{75}<\sqrt{121},$$ то

$$|\sqrt{51}-\sqrt{49}|=\sqrt{51}-\sqrt{49},$$

$$|\sqrt{51}-\sqrt{75}|=\sqrt{75}-\sqrt{51},$$

$$|\sqrt{75}-\sqrt{121}|=\sqrt{121}-\sqrt{75}.$$

Тогда

$$\sqrt{51}-\sqrt{49}+\sqrt{75}-\sqrt{51}+\sqrt{121}-\sqrt{75}=\sqrt{121}-\sqrt{49}=11-7=4.$$

б) $$|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-2\sqrt{2}|+|2\sqrt{2}-3\sqrt{2}|+\dots+|5\sqrt{2}-6\sqrt{2}|+|6\sqrt{2}-9|$$

$$=|\sqrt{1}-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{8}|+|\sqrt{8}-\sqrt{18}|+\dots+|\sqrt{50}-\sqrt{72}|+|\sqrt{72}-\sqrt{81}|.$$

Так как $$1<2<8<18<\dots<72<81,$$ то

$$\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8}+\dots+\sqrt{81}-\sqrt{72}.$$

После сокращения получаем

$$-\sqrt{1}+\sqrt{81}=-1+9=8.$$

в) $$|1-\sqrt{37}|+|2-\sqrt{37}|+|3-\sqrt{37}|+\dots+|6-\sqrt{37}|+|7-\sqrt{37}|$$

Так как $$36<37<49,$$ то $$6<\sqrt{37}<7.$$ Следовательно,

$$|\!1-\sqrt{37}\!|=\sqrt{37}-1,\quad |\!2-\sqrt{37}\!|=\sqrt{37}-2,\quad \dots,\quad |\!6-\sqrt{37}\!|=\sqrt{37}-6,$$

а также

$$|7-\sqrt{37}|=7-\sqrt{37}.$$

Тогда

$$\left(\sqrt{37}-1\right)+\left(\sqrt{37}-2\right)+\left(\sqrt{37}-3\right)+\left(\sqrt{37}-4\right)+\left(\sqrt{37}-5\right)+\left(\sqrt{37}-6\right)+\left(7-\sqrt{37}\right)$$

$$=6\sqrt{37}-21+7-\sqrt{37}=5\sqrt{37}-14.$$

г) $$|1-\sqrt{137}|+|2-\sqrt{137}|+|3-\sqrt{137}|+\dots+|11-\sqrt{137}|+|11\sqrt{137}-12|$$

Так как $$121<137<144,$$ то $$11<\sqrt{137}<12.$$ Следовательно,

$$|1-\sqrt{137}|=\sqrt{137}-1,\quad |2-\sqrt{137}|=\sqrt{137}-2,\quad \dots,\quad |11-\sqrt{137}|=\sqrt{137}-11,$$

а также

$$|11\sqrt{137}-12|=12-11\sqrt{137}.$$

Тогда

$$\left(\sqrt{137}-1\right)+\left(\sqrt{137}-2\right)+\dots+\left(\sqrt{137}-11\right)+\left(12-11\sqrt{137}\right)$$

$$=11\sqrt{137}-66+12-11\sqrt{137}=-66+12=-54.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$8$$; в) $$5\sqrt{37}-14$$; г) $$-54$$.