Упр.49.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Красивых учеников в классе — $$22$$, а умных — $$18$$. Всего в классе $$30$$ учеников, и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый.
   
   а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?
   
   б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?
   
   в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?
   
   г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.

Обозначим множество красивых учеников через $$A$$, а множество умных — через $$B$$.

Тогда $$N(A)=22,$$ $$N(B)=18,$$ $$N(A\cup B)=30.$$

Найдём число учеников, которые и умны, и красивы:

$$N(A\cap B)=N(A)+N(B)-N(A\cup B)=22+18-30=10.$$

Тогда:

умны, но не красивы:

$$N(B)-N(A\cap B)=18-10=8;$$

красивы, но не умны:

$$N(A)-N(A\cap B)=22-10=12.$$

Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы, нужно, чтобы

$$N(A\cap B)=N(A)-N(A\cap B),$$

то есть

$$2N(A\cap B)=N(A), \quad N(A\cap B)=\frac{22}{2}=11.$$

Тогда общее число учеников должно быть

$$N(A\cup B)=N(A)+N(B)-N(A\cap B)=22+18-11=29.$$

Ответ: а) $$10$$; б) $$8$$; в) $$12$$; г) $$29$$.