Упр.49.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Из значений $$n!$$ для $$n = 1, 2, 3, \ldots, 25$$ случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) меньше миллиона; б) больше миллиарда; в) делится на миллион; г) не делится на тысячу.

Рассмотрим числа $$1!,\,2!,\,3!,\,\ldots,\,25!$$ — всего их $$25$$.

1. Найдём, сколько из них меньше миллиона:

   $$1!=1,\;2!=2,\;3!=6,\;4!=24,\;5!=120,\;6!=720,\;7!=5040,\;8!=40320,\;9!=362880<1000000,$$

   а $$10!>1000000.$$

   Значит, подходят $$9$$ чисел, поэтому

   $$P=\frac{9}{25}=0{,}36.$$

2. Найдём, сколько из них больше миллиарда:

   $$13!=6227020800>1000000000,$$

   а $$12!<1000000000.$$

   Значит, подходят числа $$13!,14!,\ldots,25!$$ — всего $$13$$ чисел. Тогда

   $$P=\frac{13}{25}=0{,}52.$$

3. Чтобы число делилось на миллион, в его записи должно быть не меньше $$6$$ нулей в конце, то есть множитель $$10^6=2^6\cdot 5^6$$ должен входить в разложение факториала.

   Уже в $$10!$$ число нулей в конце равно $$2$$, а начиная с $$25!$$ их достаточно для делимости на миллион. Проверим, какие факториалы из данных подходят:

   $$25!,\,24!,\,23!,\,22!,\,21!,\,20!$$ — все делятся на $$1000000,$$ а $$19!$$ уже не делится.

   Значит, подходят $$6$$ чисел, и

   $$P=\frac{6}{25}=0{,}24.$$

4. Число не делится на тысячу, если в его записи меньше $$3$$ нулей в конце.

   У факториалов:

   $$1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!$$ — нулей нет;

   $$10!,11!,12!,13!,14!$$ — по одному нулю;

   $$15!,16!,\ldots,25!$$ — уже не меньше трёх нулей.

   Значит, не делятся на тысячу числа $$1!,2!,\ldots,14!$$ — всего $$14$$ чисел. Тогда

   $$P=\frac{14}{25}=0{,}56.$$

Ответ: а) $$0{,}36$$; б) $$0{,}52$$; в) $$0{,}24$$; г) $$0{,}56$$.