Упр.49.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадёт в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу.

1. Какова вероятность $$p(n)$$ того, что ему хватит $$n$$ выстрелов?
2. Найдите предел этой вероятности при $$n \to \infty$$.
3. Численные результаты для $$n=1, 2, 3, \ldots, 7$$ соберите в таблицу.

Пусть вероятность попадания при одном выстреле равна $$p=0{,}1,$$ тогда вероятность промаха равна $$q=1-p=0{,}9.$$

а)

Чтобы стрелку хватило $$n$$ выстрелов, нужно, чтобы первые $$n-1$$ выстрелов были промахами, а $$n$$-й — попаданием. Поэтому

$$p(n)=q^{\,n-1}\cdot p=0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1.$$

б)

Найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty} 0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1=0.$$

в)

г)

Сумма вероятностей

$$p(1)+p(2)+\dots+p(n)$$

является суммой первых $$n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=0{,}1$$ и знаменателем $$q=0{,}9.$$ Тогда

$$\lim_{n\to\infty}\bigl(p(1)+p(2)+\dots+p(n)\bigr)=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=1.$$

Ответ: а) $$p(n)=0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1$$; б) $$0$$; в) таблица выше; г) $$1$$.