Упр.49.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.)
а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?
б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?
в) Какова вероятность того, что хватит именно $$n$$ повторений?
г) Найдите предел этой вероятности при $$n\to\infty$$.
Обозначим: гласных букв — $$10$$, согласных — $$23$$. Выборы независимы, так как карточку каждый раз возвращают обратно.
Никаких повторений не потребуется, если с первого раза сразу выпадет гласная буква:
$$P_1=\frac{10}{33}\approx 0{,}303.$$
Хватит двух повторений, если сначала выпадет согласная, а затем гласная:
$$P_2=\frac{23}{33}\cdot\frac{10}{33}=\frac{230}{1089}\approx 0{,}211.$$
Хватит ровно $$n$$ повторений, если первые $$n-1$$ раз выпадали согласные, а в $$n$$-й раз — гласная:
$$P_n=\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}.$$
Найдём предел этой вероятности при $$n\to\infty$$:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}=0,$$
так как $$\frac{23}{33}<1$$.
Ответ: а) $$\frac{10}{33}\approx 0{,}303$$; б) $$\frac{230}{1089}\approx 0{,}211$$; в) $$\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}$$; г) $$0$$.
