Упр.49.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Каждый из $$n$$ учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от $$0$$ до $$9$$.
   а) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?
   б) Как меняется эта вероятность с изменением $$n$$?
   в) Найдите предел этой вероятности при $$n \to \infty$$.
   г) При каком наименьшем $$n$$ вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия?

Обозначим через $$P_n$$ вероятность того, что среди написанных цифр есть хотя бы одна цифра $$5$$.

Ход решения

Удобнее сначала найти вероятность противоположного события: ни одна из $$n$$ цифр не равна $$5$$. Для каждого ученика вероятность написать не $$5$$ равна $$\frac{9}{10}$$, значит

$$\overline{P_n}=\left(\frac{9}{10}\right)^n=0{,}9^n.$$

Тогда

$$P_n=1-\overline{P_n}=1-0{,}9^n.$$

1. Вероятность того, что будет хотя бы одна цифра $$5$$:

   $$P_n=1-0{,}9^n.$$

2. При увеличении $$n$$ число $$0{,}9^n$$ убывает, значит $$P_n=1-0{,}9^n$$ возрастает.

3. Найдём предел:

   $$\lim_{n\to\infty}(1-0{,}9^n)=1-0=1.$$

4. Требуется, чтобы вероятность появления хотя бы одной цифры $$5$$ была больше вероятности её отсутствия:

   $$1-0{,}9^n>0{,}9^n.$$

   Тогда

   $$1>2\cdot 0{,}9^n,$$

   $$0{,}5>0{,}9^n.$$

   Проверим значения:

   $$0{,}9^6\approx 0{,}531>0{,}5,\qquad 0{,}9^7\approx 0{,}478<0{,}5.$$

   Значит, наименьшее $$n=7$$.

Ответ

а) $$1-0{,}9^n$$; б) возрастает; в) $$1$$; г) $$7$$.