Упр.49.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Какова вероятность того, что при $$n$$ бросаниях монеты «решка» выпадет хотя бы один раз?
б) Как меняется эта вероятность с изменением $$n$$?
в) Найдите предел этой вероятности при $$n \to \infty$$.
г) При каком наименьшем $$n$$ вероятность появления хотя бы одной «решки» будет больше 0,999?
При каждом бросании монеты возможны два равновероятных исхода. Тогда вероятность того, что ни разу не выпадет «решка», равна
$$\left(\frac12\right)^n=2^{-n}.$$
Следовательно, вероятность того, что «решка» выпадет хотя бы один раз, равна
$$P=1-2^{-n}.$$
Ход решения
а) $$P=1-2^{-n}.$$
б) При увеличении $$n$$ величина $$2^{-n}$$ уменьшается, значит
$$P(n)=1-2^{-n}$$
монотонно возрастает.
в)
$$\lim_{n\to\infty}\left(1-2^{-n}\right)=1-0=1.$$
г) Требуется, чтобы
$$1-2^{-n}>0{,}999.$$
Тогда
$$2^{-n}<0{,}001=\frac1{1000},$$
то есть
$$2^n>1000.$$
Проверяем степени двойки:
$$2^9=512,\qquad 2^{10}=1024.$$
Значит, наименьшее значение $$n$$ равно $$10$$.
Ответ
а) $$1-2^{-n}$$; б) возрастает; в) $$1$$; г) $$n=10$$.
