Упр.49.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

В темном ящике $$8$$ белых и $$7$$ черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно $$4$$ шара. Найдите вероятность того, что:

• а) все шары белые;
• б) имеется как минимум три белых шара;
• в) имеется как минимум два черных шара;
• г) есть хотя бы один белый шар.

Всего шаров $$8+7=15.$$

Ход решения

а) Все 4 шара белые:

$$P=\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{14}\cdot\frac{6}{13}\cdot\frac{5}{12}=\frac{2}{39}\approx 0{,}051.$$

б) Как минимум три шара белые. Это два случая:

• ровно 3 белых и 1 чёрный;
• 4 белых.

$$P=\frac{C_8^3\cdot C_7^1}{C_{15}^4}+\frac{C_8^4}{C_{15}^4}.$$

Вычислим:

$$C_8^3=56,\quad C_7^1=7,\quad C_{15}^4=1365,\quad C_8^4=70.$$

Тогда

$$P=\frac{56\cdot 7}{1365}+\frac{70}{1365}=\frac{392+70}{1365}=\frac{462}{1365}\approx 0{,}338.$$

в) Как минимум 2 чёрных шара. Удобнее найти через противоположное событие: меньше 2 чёрных, то есть 0 или 1 чёрный.

$$P=1-\frac{C_8^4}{C_{15}^4}-\frac{C_7^1\cdot C_8^3}{C_{15}^4}.$$

Подставим значения:

$$P=1-\frac{70}{1365}-\frac{7\cdot 56}{1365}=1-\frac{70+392}{1365}=1-\frac{462}{1365}=\frac{903}{1365}\approx 0{,}662.$$

г) Хотя бы один белый шар. Удобнее найти вероятность противоположного события — все 4 шара чёрные:

$$P=1-\frac{7}{15}\cdot\frac{6}{14}\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{12}=1-\frac{1}{39}=\frac{38}{39}\approx 0{,}974.$$

Ответ

а) $$0{,}051$$; б) $$0{,}338$$; в) $$0{,}662$$; г) $$0{,}974$$.