Упр.49.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно $$n$$ билетов, $$n=1,2,3,\ldots,9$$. Найдите вероятность $$p(n)$$ того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты сообщите в таблицу.

Обозначим через $$p(n)$$ вероятность того, что среди $$n$$ случайно выбранных билетов окажется ровно один выигрышный.

Всего билетов $$9$$, из них выигрышных $$5$$ и проигрышных $$4$$. Тогда для получения ровно одного выигрыша нужно выбрать:

$$1$$ выигрышный билет из $$5$$ и $$n-1$$ проигрышных билетов из $$4$$.

По формуле сочетаний:

$$p(n)=\frac{C_5^1\cdot C_4^{\,n-1}}{C_9^n}.$$

Это выражение имеет смысл только при $$n\le 5$$, так как выигрышных билетов всего $$5$$. Поэтому при $$n=6,7,8,9$$ получаем $$p(n)=0$$.

Вычислим значения:

$$p(1)=\frac{C_5^1\cdot C_4^0}{C_9^1}=\frac{5}{9}, \qquad p(2)=\frac{C_5^1\cdot C_4^1}{C_9^2}=\frac{5}{9},$$

$$p(3)=\frac{C_5^1\cdot C_4^2}{C_9^3}=\frac{5}{14}, \qquad p(4)=\frac{C_5^1\cdot C_4^3}{C_9^4}=\frac{10}{63},$$

$$p(5)=\frac{C_5^1\cdot C_4^4}{C_9^5}=\frac{5}{126}.$$

Ответ: $$p(1)=\frac{5}{9},\ p(2)=\frac{5}{9},\ p(3)=\frac{5}{14},\ p(4)=\frac{10}{63},\ p(5)=\frac{5}{126},\ p(6)=p(7)=p(8)=p(9)=0.$$