Упр.49.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В темном ящике $$n$$ выигрышных билетов и $$n$$ проигрышных, $$n>2$$. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.
   а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.
   б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $$n$$.
   в) К какому числу стремится эта вероятность при $$n\to\infty$$?
   г) Найдите $$n$$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.

Обозначим вероятность события, что среди трёх вытянутых билетов ровно один проигрышный, через $$P(n).$$

а)

Всего билетов $$2n,$$ из них выигрышных $$n$$ и проигрышных $$n.$$

Чтобы среди трёх билетов был ровно один проигрышный, нужно выбрать:

• $$1$$ проигрышный билет из $$n$$;
• $$2$$ выигрышных билета из $$n.$$

Тогда

$$P(n)=\frac{C_n^1\cdot C_n^2}{C_{2n}^3} =\frac{n\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}} =\frac{3n(n-1)}{2(2n-1)(2n-2)} =\frac{3n}{4(2n-1)}.$$

б)

Преобразуем:

$$P(n)=\frac{3n}{4(2n-1)}=\frac{3}{8}\cdot \frac{2n}{2n-1} =\frac{3}{8}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right).$$

При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{1}{2n-1}$$ убывает, значит убывает и $$P(n).$$ Следовательно, вероятность монотонно убывает с ростом $$n.$$

в)

Найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty} P(n) =\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{4(2n-1)} =\frac{3}{8} =0{,}375.$$

г)

Решим неравенство:

$$\frac{3n}{4(2n-1)}<0{,}4=\frac{2}{5}.$$

Так как $$2n-1>0,$$ умножаем обе части на $$20(2n-1):$$

$$15n<8(2n-1)$$

$$15n<16n-8$$

$$n>8.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то наименьшее подходящее значение:

$$n=9.$$

Ответ

а) $$P(n)=\frac{3n}{4(2n-1)}$$; б) вероятность убывает; в) $$\frac{3}{8}=0{,}375$$; г) $$n=9.$$