Упр.49.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см.
а) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?
б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом ниже 180 см?
в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см?
г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?
Обозначим через $$A$$ множество красивых учеников, через $$B$$ — умных, через $$C$$ — учеников ростом выше $$180$$ см. Тогда
$$N(A \cup B)=30,\quad N(A)=26,\quad N(B)=24,\quad N(C)=14.$$
а)
Сначала найдём число учеников, которые и умные, и красивые:
$$N(A \cap B)=N(A)+N(B)-N(A \cup B)=26+24-30=20.$$
Теперь учитываем рост выше $$180$$ см:
$$N(A \cap B \cap C)=N(A \cap B)+N(C)-N(A \cup B \cup C).$$
Так как все ученики входят в $$A \cup B$$, то $$N(A \cup B \cup C)=30$$. Тогда
$$N(A \cap B \cap C)=20+14-30=4.$$
б)
Если все умные, но не красивые, ниже $$180$$ см, то таких учеников
$$N(B)-N(A \cap B)=24-20=4.$$
Значит, в объединении $$A \cup B \cup C$$ уже не хватает этих $$4$$ учеников, поэтому
$$N(A \cup B \cup C)=30-4=26.$$
Тогда
$$N(A \cap B \cap C)=20+14-26=8.$$
в)
Если все красивые, но не умные, выше $$180$$ см, то таких учеников
$$N(A)-N(A \cap B)=26-20=6.$$
Тогда
$$N(A \cup B \cup C)=30-6=24.$$
Кроме того, из $$14$$ высоких учеников $$6$$ — красивые, но не умные, значит
$$N(C)=14-6=8.$$
Следовательно,
$$N(A \cap B \cap C)=20+8-24=4.$$
г)
Если известно, что $$12$$ умных учеников выше $$180$$ см, то
$$N(B \cap C)=12.$$
Тогда
$$N(A \cap B \cap C)=N(B \cap C)+N(A)-N(A \cup B \cup C)=12+26-30=8.$$
Ответ: а) $$4$$; б) $$8$$; в) $$4$$; г) $$8$$.
