Упр.49.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.
а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?
б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?
в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?
г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.
Обозначим через $$A$$ множество задач, решённых первым учеником, а через $$B$$ — множество задач, решённых вторым учеником. Тогда
$$N(A)=44,\quad N(B)=26,\quad N(A\cup B)=50.$$
Ход решения
а) Число задач, решённых обоими учениками:
$$N(A\cap B)=N(A)+N(B)-N(A\cup B)=44+26-50=20.$$
б) Число задач, решённых первым, но не решённых вторым:
$$N(A\setminus B)=N(A)-N(A\cap B)=44-20=24.$$
в) Число задач, решённых вторым, но не решённых первым:
$$N(B\setminus A)=N(B)-N(A\cap B)=26-20=6.$$
г) Пусть общее число задач равно $$x$$. Тогда, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы, должно выполняться
$$N(A\cap B)=N(A\setminus B).$$
Но
$$N(A\setminus B)=N(A)-N(A\cap B)=44-N(A\cap B).$$
Следовательно,
$$N(A\cap B)=44-N(A\cap B),$$
откуда
$$N(A\cap B)=22.$$
Тогда
$$x=N(A\cup B)=N(A)+N(B)-N(A\cap B)=44+26-22=48.$$
Ответ
а) $$20$$; б) $$24$$; в) $$6$$; г) $$48$$.
