Упр.48.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше: а) $$\mathrm{С}3(17)$$ или $$\mathrm{С}4(18)$$; б) $$\mathrm{С}4(18)$$ или $$\mathrm{С}5(19)$$; в) $$\mathrm{С}5(19)$$ или $$\mathrm{С}6(18)$$; г) $$\mathrm{С}7(n)$$ или $$\mathrm{С}8(n+1)$$.

Сравним данные сочетания, составив их частное.

1. $$\frac{C_{17}^{3}}{C_{18}^{4}}=\frac{\frac{17!}{3!\,14!}}{\frac{18!}{4!\,14!}}=\frac{17!\cdot 4!}{3!\cdot 18!}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}<1.$$

   Значит, $$C_{17}^{3}

2. $$\frac{C_{18}^{4}}{C_{19}^{5}}=\frac{\frac{18!}{4!\,14!}}{\frac{19!}{5!\,14!}}=\frac{18!\cdot 5!}{4!\cdot 19!}=\frac{5}{19}<1.$$

   Значит, $$C_{18}^{4}

3. $$\frac{C_{19}^{5}}{C_{18}^{6}}=\frac{\frac{19!}{5!\,14!}}{\frac{18!}{6!\,12!}}=\frac{19!\cdot 6!\cdot 12!}{5!\,14!\cdot 18!}=\frac{19\cdot 6}{14\cdot 13}=\frac{114}{182}<1.$$

   Значит, $$C_{19}^{5}

4. $$\frac{C_{n}^{7}}{C_{n+1}^{8}}=\frac{\frac{n!}{7!\,(n-7)!}}{\frac{(n+1)!}{8!\,(n-7)!}}=\frac{n!\cdot 8!}{7!\,(n+1)!}=\frac{8}{n+1}.$$

   Тогда:

   • если $$\frac{8}{n+1}<1,$$ то $$n>7$$ и $$C_{n}^{7}
   • если $$\frac{8}{n+1}=1,$$ то $$n=7$$ и $$C_{n}^{7}=C_{n+1}^{8};$$
   • если $$\frac{8}{n+1}>1,$$ то $$n<7,$$ но при этом для сочетаний нужно $$n\ge 7,$$ поэтому этот случай не подходит.

   Следовательно, при $$n>7$$ имеем $$C_{n}^{7}

Ответ: $$C_{17}^{3}7,\ \ C_{n}^{7}=C_{n+1}^{8}\text{ при }n=7.$$