Упр.48.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$P_n \cdot \frac{C_{n+1}^{3}}{A_n^{n-2}}$$; б) $$P_{n+1} \cdot \frac{C_n^{n-2}}{A_{n+1}^{n}}$$.

а) $$\frac{P_n\cdot C_{n+1}^3}{A_n^{\,n-2}}=\frac{n!\cdot \dfrac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!}}{\dfrac{n!}{(n-(n-2))!}}$$

Так как $$A_n^{\,n-2}=\dfrac{n!}{2!},$$ то

$$\frac{P_n\cdot C_{n+1}^3}{A_n^{\,n-2}}=n!\cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}\cdot \frac{2!}{n!}$$

$$=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)!\cdot 2!}{3!\,(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}.$$

б) $$\frac{P_{n+1}\cdot C_n^{\,n-2}}{A_{n+1}^{\,n}}=\frac{(n+1)!\cdot \dfrac{n!}{(n-2)!\,2!}}{\dfrac{(n+1)!}{1!}}$$

$$=(n+1)!\cdot \frac{n!}{(n-2)!\,2!}\cdot \frac{1!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n-2)!\,2!}$$

$$=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$$; б) $$\frac{n(n-1)}{2}$$.