Упр.48.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия.
а) Сколько существует различных типов билетов?
б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны $$x$$ в зону $$y$$ рассчитывается по формуле $$S=7+6|x-y|$$?
в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.?
г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.?
Обозначим номер зоны отправления через $$x$$, а номер зоны прибытия — через $$y$$. Тогда $$x$$ и $$y$$ могут принимать значения от $$1$$ до $$10$$.
Число различных типов билетов равно числу пар $$\left(x,y\right)$$:
$$10 \cdot 10 = 100.$$
Стоимость билета задаётся формулой $$S=7+6|x-y|.$$
Возможные значения $$|x-y|$$: $$0,1,2,\ldots,9.$$
Значит, различных стоимостей тоже $$10$$:
$$7,\ 13,\ 19,\ 25,\ 31,\ 37,\ 43,\ 49,\ 55,\ 61.$$
Найдём, при каких значениях $$|x-y|$$ стоимость не превышает $$50$$ руб.:
$$7+6|x-y|\le 50$$
$$6|x-y|\le 43$$
$$|x-y|\le 7.$$
Исключаются только случаи $$|x-y|=8$$ и $$|x-y|=9$$.
Число пар с $$|x-y|=8$$ равно $$2$$, с $$|x-y|=9$$ тоже $$2$$. Всего исключается $$4$$ типа билетов.
Тогда
$$100-4=96.$$
Цена кратна $$5$$, если
$$7+6|x-y|\equiv 0 \pmod{5}.$$
Так как $$6\equiv 1 \pmod{5}$$ и $$7\equiv 2 \pmod{5},$$ получаем
$$2+|x-y|\equiv 0 \pmod{5},$$
то есть
$$|x-y|\equiv 3 \pmod{5}.$$
Из возможных значений $$0,1,\ldots,9$$ подходят $$3$$ и $$8$$.
Число пар с $$|x-y|=3$$ равно $$2\cdot 7=14,$$ с $$|x-y|=8$$ — $$2.$$
Итого
$$14+2=16.$$
Ответ: а) $$100$$; б) $$10$$; в) $$96$$; г) $$16$$.
