Упр.48.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Докажите, что для любого натурального числа $$n>1$$ и любого $$x>0$$ верно неравенство $$\left(1+x\right)^n>1+nx$$ (неравенство Бернулли).
б) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства $$1{,}001^n>1000$$.
в) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства $$0{,}99^n<0{,}01$$.
г) Докажите, что для любого $$0
а) Разложим левую часть по биному Ньютона:
$$(1+x)^n= C_n^0\cdot 1^n + C_n^1\cdot 1^{n-1}x + C_n^2\cdot 1^{n-2}x^2+\dots + C_n^n x^n.$$
Так как $$C_n^0=1$$, $$C_n^1=n$$, а при $$x>0$$ все остальные слагаемые положительны, то
$$(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+\dots + C_n^n x^n>1+nx.$$
б) Пусть $$x=0{,}001$$. Тогда
$$1{,}001^n=(1+0{,}001)^n>1+0{,}001n.$$
Чтобы гарантировать $$1{,}001^n>1000$$, достаточно, чтобы
$$1+0{,}001n>1000,$$
откуда
$$0{,}001n>999,\qquad n>999000.$$
Подойдёт, например, $$n=999001$$.
в) Перепишем неравенство:
$$0{,}99^n<0{,}01 \iff \left(\frac{99}{100}\right)^n<\frac{1}{100}.$$
Тогда
$$\left(1-\frac{1}{100}\right)^n<\frac{1}{100}.$$
Удобнее рассмотреть обратные величины:
$$\left(\frac{100}{99}\right)^n>100.$$
По неравенству Бернулли при $$x=\frac{1}{99}$$ имеем
$$\left(1+\frac{1}{99}\right)^n>1+\frac{n}{99}.$$
Значит, достаточно, чтобы
$$1+\frac{n}{99}>100,$$
то есть
$$\frac{n}{99}>99,\qquad n>9801.$$
Подойдёт, например, $$n=9802$$.
г) Пусть $$0<q<1$$ и $$a>0$$. Тогда
$$q^n<a \iff \frac{1}{q^n}>\frac{1}{a}.$$
Так как
$$\frac{1}{q}=1+\frac{1-q}{q},$$
то по неравенству Бернулли
$$\left(1+\frac{1-q}{q}\right)^n>1+n\frac{1-q}{q}.$$
Следовательно, достаточно потребовать
$$1+n\frac{1-q}{q}>\frac{1}{a},$$
то есть
$$n>\frac{q(1-a)}{a(1-q)}.$$
Значит, для любых $$0<q<1$$ и $$a>0$$ неравенство $$q^n<a$$ верно для всех натуральных $$n$$, начиная с некоторого номера.
Ответ
а) $$\,(1+x)^n>1+nx$$ при $$n>1$$ и $$x>0$$; б) $$n=999001$$; в) $$n=9802$$; г) для всех достаточно больших натуральных $$n$$, например при $$n>\dfrac{q(1-a)}{a(1-q)}$$.
