Упр.48.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения $$(a+b)^n$$ равна 1024. а) Найдите $$n$$. б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения. в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом? г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения $$(a+b)^n$$ равна 512.

Сумма биномиальных коэффициентов разложения $$\left(a+b\right)^n$$ равна $$2^n$$.

1. Если $$2^n=1024,$$ то

   $$2^n=2^{10}, \quad n=10.$$

2. Наибольший биномиальный коэффициент находится в середине строки треугольника Паскаля. При $$n=10$$ это коэффициент

   $$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=252.$$

3. Так как $$n=10$$ — чётное число, в разложении есть один наибольший коэффициент.

4. Если сумма биномиальных коэффициентов равна $$512,$$ то

   $$2^n=512=2^9,\quad n=9.$$

   Наибольший коэффициент:

   $$C_9^4=\frac{9!}{4!\,5!}=126.$$

   Так как $$n=9$$ — нечётное число, наибольших коэффициентов два.

Ответ: а) $$10$$; б) $$252$$; в) $$1$$; г) $$9$$, $$126$$, $$2$$.