Упр.48.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите член разложения, не содержащий переменных:
   а) $$(2x^2+\frac{1}{x})^6$$;
   б) $$(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{4}{3}})^5$$;
   в) $$(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^9$$;
   г) $$(x^{0.75}+x^{\frac{2}{3}})^{17}$$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{\,n-k}b^k$$

Член разложения, не содержащий переменных, получаем тогда, когда показатель при переменной равен нулю.

1. $$$(2x^2+\frac{1}{x})^6$$

   Общий член:

   $$$C_6^k(2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k$$

   Показатель степени при $$x$$ равен

   $$$2(6-k)-k=12-3k$$

   Приравниваем к нулю:

   $$$12-3k=0,\quad k=4$$

   Тогда

   $$$C_6^4(2x^2)^2\left(\frac{1}{x}\right)^4=15\cdot 4\cdot 4=60$$

2. $$$(x^{1/3}+x^{-4/3})^5$$

   Общий член:

   $$$C_5^k(x^{1/3})^{5-k}(x^{-4/3})^k$$

   Показатель степени при $$x$$ равен

   $$$\frac{1}{3}(5-k)-\frac{4}{3}k=\frac{5-5k}{3}$$

   Приравниваем к нулю:

   $$$5-5k=0,\quad k=1$$

   Тогда

   $$$C_5^1(x^{1/3})^4(x^{-4/3})=5$$

3. $$$(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^9=(3a^{1/4}+a^{-1/2})^9$$

   Общий член:

   $$$C_9^k(3a^{1/4})^{9-k}(a^{-1/2})^k$$

   Показатель степени при $$a$$ равен

   $$$\frac{1}{4}(9-k)-\frac{1}{2}k=\frac{9-3k}{4}$$

   Приравниваем к нулю:

   $$$9-3k=0,\quad k=3$$

   Тогда

   $$$C_9^3(3a^{1/4})^6(a^{-1/2})^3=84\cdot 729=61236$$

4. $$$(x^{0.75}+x^{-2/3})^{17}=\left(x^{3/4}+x^{-2/3}\right)^{17}$$

   Общий член:

   $$$C_{17}^k(x^{3/4})^{17-k}(x^{-2/3})^k$$

   Показатель степени при $$x$$ равен

   $$$\frac{3}{4}(17-k)-\frac{2}{3}k=\frac{51-17k}{12}$$

   Приравниваем к нулю:

   $$$51-17k=0,\quad k=3$$

   Тогда

   $$$C_{17}^3(x^{3/4})^{14}(x^{-2/3})^3=24310$$

Ответ: 60; 5; 61236; 24310.