Упр.48.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

У многочлена P найдите коэффициент при $$x$$:

а) $$P(x)=(1+3x)^4$$;

б) $$P(x)=(3-2x)^5$$;

в) $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$;

г) $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона: $$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k.$$

Ход решения

1. $$P(x)=\left(1+3x\right)^4.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ даёт слагаемое

   $$C_4^3\cdot 1\cdot (3x)^3=4\cdot 27x^3=108x^3.$$

   Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$108$$.

2. $$P(x)=\left(3-2x\right)^5.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ даёт слагаемое

   $$C_5^3\cdot 3^2\cdot (-2x)^3=10\cdot 9\cdot (-8x^3)=-720x^3.$$

   Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$-720$$.

3. $$P(x)=\left(x+2\right)^5-\left(2x+1\right)^4.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ в первом многочлене:

   $$C_5^3\cdot x^3\cdot 2^2=10\cdot 4x^3=40x^3.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ во втором многочлене:

   $$C_4^3\cdot (2x)^3\cdot 1=4\cdot 8x^3=32x^3.$$

   Тогда коэффициент при $$x^3$$ в $$P(x)$$ равен

   $$40-32=8.$$

4. $$P(x)=\left(x^2-x\right)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4.$$

   В первом многочлене коэффициент при $$x^3$$:

   $$C_4^3\cdot (x^2)^1\cdot (-x)^3=4\cdot (-x^3)=-4x^3.$$

   Во втором многочлене коэффициент при $$x^3$$:

   $$C_4^3\cdot 3\cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^3=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{x^3}{27}\right)=-\frac{4x^3}{9}.$$

   Складываем:

   $$-4-\frac{4}{9}=-\frac{40}{9}.$$

Ответ

а) $$108$$; б) $$-720$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{40}{9}$$.