Упр.48.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно. а) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля. б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля. в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля. г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в $$n$$-й строке треугольника Паскаля равна $$2n$$.

Первые семь строк треугольника Паскаля:

$$1$$

$$1\quad 1$$

$$1\quad 2\quad 1$$

$$1\quad 3\quad 3\quad 1$$

$$1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1$$

$$1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1$$

$$1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1$$

$$1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1$$

а) Сумма чисел в третьей строке:

$$S_3=1+3+3+1=8=2^3.$$

б) Сумма чисел в четвертой строке:

$$S_4=1+4+6+4+1=16=2^4.$$

в) Сумма чисел в седьмой строке:

$$S_7=1+7+21+35+35+21+7+1=128=2^7.$$

г) Докажем по индукции, что сумма чисел в $$n$$-й строке треугольника Паскаля равна $$2^n.$$

Обозначим через $$S_n$$ сумму чисел в $$n$$-й строке. Тогда

$$S_n=1+a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+1,$$

а в следующей строке каждый внутренний элемент равен сумме двух соседних элементов предыдущей строки:

$$S_{n+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\dots+(a_{n-2}+a_{n-1})+(a_{n-1}+1)+1.$$

Соберём подобные слагаемые:

$$S_{n+1}=2\bigl(1+a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+1\bigr)=2S_n.$$

Теперь проверим базу индукции: для первой строки

$$S_1=1=2^0.$$

Если для некоторого $$n$$ верно $$S_n=2^n,$$ то

$$S_{n+1}=2S_n=2\cdot 2^n=2^{n+1}.$$

Следовательно, для любой строки треугольника Паскаля сумма её чисел равна степени двойки.

Ответ

а) $$8$$; б) $$16$$; в) $$128$$; г) $$S_n=2^n.$$