Упр.48.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$C_3(n)=C_2(n-1)+C_3(n-1)$$
   б) $$C_{n-4}(n)=C_3(n-1)+C_{n-4}(n-1)$$
   в) $$C_k(n)=C_{k-1}(n-1)+C_k(n-1)$$
   г) $$C_k(n)=C_{n-k}(n-1)+C_{k-1}(n-2)+C_{n-k-2}(n-2)$$

Докажем тождества, используя формулу биномиального коэффициента:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Ход решения

1. $$C_n^3=C_{n-1}^2+C_{n-1}^3.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$C_{n-1}^2+C_{n-1}^3= \frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}$$

   $$=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$$

   $$=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}(3+1) =\frac{n(n-1)(n-2)}{6} =C_n^3.$$

2. $$C_n^{\,n-4}=C_{n-1}^3+C_{n-1}^{\,n-4}.$$

   Так как $$C_{n-1}^{\,n-4}=C_{n-1}^4,$$ то

   $$C_{n-1}^3+C_{n-1}^4= \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}+\frac{(n-1)!}{4!(n-5)!}$$

   $$=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}$$

   $$=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{24}(4+n-4) =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} =C_n^{\,n-4}.$$

3. $$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$$

   $$=\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\,k+\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\,(n-k)$$

   $$=\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\,(k+n-k) =\frac{n!}{k!(n-k)!} =C_n^k.$$

4. $$C_n^k=C_{n-1}^{\,n-k}+C_{n-2}^{\,k-1}+C_{n-2}^{\,n-k-2}.$$

   Используем свойство симметрии биномиальных коэффициентов:

   $$C_{n-1}^{\,n-k}=C_{n-1}^{k-1}, \qquad C_{n-2}^{\,n-k-2}=C_{n-2}^k.$$

   Тогда правая часть равна

   $$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k =C_{n-1}^{k-1}+\bigl(C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k\bigr).$$

   По формуле Паскаля

   $$C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k=C_{n-1}^k,$$

   поэтому

   $$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k.$$

Ответ

Все тождества доказаны.