Упр.48.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите $$n$$, при котором:
   а) число $$C_{n+1}^{2}$$ составляет 80% от числа $$C_{n}^{3}$$;
   б) число $$C_{n+1}^{3}$$ составляет 120% от числа $$C_{n}^{4}$$;
   в) число $$C_{2n}^{n+1}$$ составляет 56% от числа $$C_{2n+1}^{n-1}$$;
   г) число $$C_{2n+3}^{n}$$ составляет 150% от числа $$C_{2n+2}^{n+2}$$.

а) $$C_{n+1}^{2}=0{,}8\cdot C_n^{3}$$

$$\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=0{,}8\cdot \frac{n!}{3!(n-3)!}$$

$$\frac{(n+1)n}{2}=0{,}8\cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

$$3(n+1)=0{,}8(n-1)(n-2)$$

$$15(n+1)=4(n-1)(n-2)$$

$$15n+15=4n^2-12n+8$$

$$4n^2-27n-7=0$$

$$D=27^2+4\cdot 4\cdot 7=841=29^2$$

$$n=\frac{27\pm 29}{8}$$

$$n_1=7,\quad n_2=-\frac14$$

Подходит только $$n=7$$.

б) $$C_{n+1}^{3}=1{,}2\cdot C_n^{4}$$

$$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=1{,}2\cdot \frac{n!}{4!(n-4)!}$$

$$\frac{(n+1)n(n-1)}{6}=1{,}2\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$

$$4(n+1)=1{,}2(n-2)(n-3)$$

$$20(n+1)=6(n-2)(n-3)$$

$$20n+20=6n^2-30n+36$$

$$6n^2-50n+16=0$$

$$D=50^2-4\cdot 6\cdot 16=2116=46^2$$

$$n=\frac{50\pm 46}{12}$$

$$n_1=8,\quad n_2=\frac13$$

Подходит только $$n=8$$.

в) $$C_{2n}^{\,n+1}=0{,}56\cdot C_{2n+1}^{\,n-1}$$

$$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$$

$$\frac{(2n)!}{(n+1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)(2n)!}{(n+2)!}$$

$$1=0{,}56\cdot \frac{2n+1}{n+2}$$

$$n+2=0{,}56(2n+1)$$

$$n+2=1{,}12n+0{,}56$$

$$1{,}44=0{,}12n$$

$$n=12$$

г) $$C_{2n+3}^{\,n}=1{,}5\cdot C_{2n+2}^{\,n+2}$$

$$\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}=1{,}5\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)!(n)!}$$

$$\frac{(2n+3)(2n+2)!}{n!(n+3)(n+2)(n+1)n!}=1{,}5\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)(n+1)n!}$$

После сокращения получаем:

$$\frac{2n+3}{n+3}=1{,}5$$

$$2n+3=1{,}5(n+3)$$

$$2n+3=1{,}5n+4{,}5$$

$$0{,}5n=1{,}5$$

$$n=3$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$8$$; в) $$12$$; г) $$3$$.