Упр.48.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Докажите, что последовательность $$\frac{A_4^{n+1}}{C_4^{n+2}}$$, $$n=3,4,5,\ldots$$, монотонно возрастает.
б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа $$4$$.
в) Укажите номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше $$20$$.
г) Найдите предел этой последовательности при $$n\to\infty$$.
$$\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4}=\frac{(n+1)!}{(n-3)!\,4!}\cdot\frac{4!\,(n-2)!}{(n+2)!}=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{(n+2)(n+1)n(n-1)}=24\cdot\frac{n-2}{n+2},\quad n=3,4,5,\ldots$$
Ход решения
а) Рассмотрим последовательность
$$a_n=24\cdot\frac{n-2}{n+2}=24\left(1-\frac{4}{n+2}\right).$$
При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{4}{n+2}$$ убывает, значит выражение $$1-\frac{4}{n+2}$$ возрастает. Следовательно, последовательность $$a_n$$ монотонно возрастает.
б) Для всех $$n\ge 3$$ имеем
$$a_n=24\left(1-\frac{4}{n+2}\right)\ge 24\left(1-\frac{4}{3+2}\right)=24\cdot\frac15=\frac{24}{5}>4.$$
Значит, все члены последовательности больше числа $$4$$.
в) Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство
$$24\cdot\frac{n-2}{n+2}>20.$$
Так как $$n+2>0$$, умножим обе части на $$n+2$$:
$$24(n-2)>20(n+2)$$
$$24n-48>20n+40$$
$$4n>88$$
$$n>22.$$
Так как $$n$$ — целое число, то начиная с $$n=23$$ все члены последовательности будут больше $$20$$.
г) Найдём предел:
$$\lim_{n\to\infty}24\cdot\frac{n-2}{n+2}=24\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}}=24\cdot\frac{1-0}{1+0}=24.$$
Ответ
а) последовательность монотонно возрастает; б) $$a_n>4$$; в) $$n=23$$; г) $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=24$$.
