Упр.48.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Каждую из $$n$$ точек, являющихся вершинами выпуклого $$n$$-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной.

а) Сколько провели отрезков?

б) Сколько провели диагоналей?

в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В?

г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)?

Подробный ответ

а) Каждую вершину можно соединить отрезками с остальными вершинами, кроме самой себя. Если бы считать все такие соединения по вершинам, получилось бы $$n(n-1)$$, но каждый отрезок посчитан дважды. Поэтому

$$\frac{n(n-1)}{2}.$$

б) Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Значит, из одной вершины выходит $$n-3$$ диагонали, а всего

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$

в) Для двузвенной ломаной из вершины $$A$$ в вершину $$B$$ нужно выбрать одну промежуточную вершину. Таких вершин, кроме $$A$$ и $$B$$, всего $$n-2$$.

Следовательно, число двузвенных ломаных равно $$n-2$$.

г) Для трехзвенной ломаной нужно выбрать две промежуточные вершины. Первую звено можно провести к любой из $$n-2$$ вершин, вторую — к любой из $$n-3$$ оставшихся вершин, а третье звено уже фиксировано.

Итак, число таких ломаных равно

$$(n-2)(n-3).$$