Упр.48.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• Пусть $$y(n)=\frac{A_5(n)}{C_3(n-1)}$$.
  
  а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки $$(n;y(n))$$.
  
  б) Постройте график этого многочлена.
  
  в) Укажите наибольшее $$n$$, при котором $$y(n)<600$$.
  г) Укажите наименьшее $$n$$, при котором $$y(n)>6000$$.

$$y(n)=\frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}, \quad n \ge 4.$$

а) Многочлен, на графике которого лежат все точки $$(n;y(n))$$

$$y(n)=\frac{n!}{(n-5)!}:\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{(n-5)!}\cdot\frac{3!(n-5)!}{(n-2)!} =6n(n-1).$$

Значит, искомый многочлен:

$$y=6x(x-1).$$

б) График этого многочлена

Это парабола, ветви направлены вверх. Для построения удобно взять несколько точек:

Вершина параболы: $$\left(0{,}5;\,-1{,}5\right).$$

в) Наибольшее число $$n$$, при котором $$y(n)<600$$

$$6n(n-1)<600$$
$$n(n-1)<100$$
$$n^2-n-100<0.$$

Найдём корни уравнения $$n^2-n-100=0$$:

$$D=1+400=401,$$
$$n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{401}}{2}.$$

Приближённо:

$$n_1\approx -9{,}5,\qquad n_2\approx 10{,}5.$$

Так как $$n$$ — натуральное и $$n\ge 4$$, получаем наибольшее значение:

$$n=10.$$

г) Наименьшее число $$n$$, при котором $$y(n)>6000$$

$$6n(n-1)>6000$$
$$n(n-1)>1000$$
$$n^2-n-1000>0.$$

Найдём корни уравнения $$n^2-n-1000=0$$:

$$D=1+4000=4001,$$
$$n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{4001}}{2}.$$

Приближённо:

$$n_1\approx -31,\qquad n_2\approx 32.$$

Тогда при натуральных $$n$$, начиная с $$33$$, неравенство выполняется. Следовательно, наименьшее значение:

$$n=33.$$

Ответ: а) $$y=6x(x-1)$$; б) парабола с вершиной $$\left(0{,}5;\,-1{,}5\right)$$; в) $$10$$; г) $$33$$.