Упр.48.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$y(n)=\frac{C_3(n)}{A_3(n-1)},\quad n\ge 4$$.
   
   а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки $$(n;y(n))$$.
   
   б) Постройте график этой функции.
   
   в) Укажите наибольшее $$n$$, при котором $$y(n)>0{,}25$$.
   
   г) Укажите наименьшее $$n$$, при котором $$y(n)$$ отличается от $$\frac{1}{6}$$ менее чем на $$0{,}01$$.

$$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}, \qquad A_{n-1}^3=\frac{(n-1)!}{(n-4)!}$$

Тогда

$$y(n)=\frac{C_n^3}{A_{n-1}^3}=\frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{(n-1)!}{(n-4)!}}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6(n-1)(n-2)(n-3)}=\frac{n}{6(n-3)}.$$

а)

Все точки $$\bigl(n;y(n)\bigr)$$ лежат на графике дробно-линейной функции

$$y=\frac{x}{6(x-3)}.$$

б)

У функции $$y=\frac{x}{6(x-3)}$$ вертикальная асимптота $$x=3$$, а горизонтальная асимптота

$$y=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{6(x-3)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{6\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\frac16.$$

Для построения можно отметить несколько точек:

График состоит из двух ветвей и приближается к прямым $$x=3$$ и $$y=\frac16$$.

в)

Решим неравенство

$$\frac{n}{6(n-3)}>\frac14.$$

Так как $$n\ge 4$$, то $$n-3>0$$, можно умножить на $$12(n-3)$$:

$$2n>3(n-3),$$

$$2n>3n-9,$$

$$n<9.$$

При натуральных $$n\ge 4$$ наибольшее значение равно $$8$$.

г)

Нужно решить неравенство

$$\left|\frac{n}{6(n-3)}-\frac16\right|<0{,}01.$$

Преобразуем:

$$\left|\frac{n-(n-3)}{6(n-3)}\right|=\left|\frac{3}{6(n-3)}\right|=\frac{1}{2(n-3)}.$$

Тогда

$$\frac{1}{2(n-3)}<0{,}01=\frac{1}{100},$$

$$100<2(n-3),$$

$$50<n-3,$$

$$n>53.$$

Наименьшее натуральное $$n$$ равно $$54$$.

Ответ: а) $$y=\frac{x}{6(x-3)}$$; б) график этой функции; в) $$8$$; г) $$54$$.