Упр.48.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Пусть $$y(n)=\frac{C_3(n)}{A_3(n-1)},\quad n\ge 4$$.
а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки $$(n;y(n))$$.
б) Постройте график этой функции.
в) Укажите наибольшее $$n$$, при котором $$y(n)>0{,}25$$.
г) Укажите наименьшее $$n$$, при котором $$y(n)$$ отличается от $$\frac{1}{6}$$ менее чем на $$0{,}01$$.
$$C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}, \qquad A_{n-1}^3=\frac{(n-1)!}{(n-4)!}$$
Тогда
$$y(n)=\frac{C_n^3}{A_{n-1}^3}=\frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{(n-1)!}{(n-4)!}}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6(n-1)(n-2)(n-3)}=\frac{n}{6(n-3)}.$$
а)
Все точки $$\bigl(n;y(n)\bigr)$$ лежат на графике дробно-линейной функции
$$y=\frac{x}{6(x-3)}.$$
б)
У функции $$y=\frac{x}{6(x-3)}$$ вертикальная асимптота $$x=3$$, а горизонтальная асимптота
$$y=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{6(x-3)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{6\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\frac16.$$
Для построения можно отметить несколько точек:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1{,}75$$ | $$2{,}25$$ | $$2{,}75$$ | $$3{,}25$$ | $$4{,}5$$ | $$5{,}5$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$-0{,}25$$ | $$-0{,}5$$ | $$-1{,}1\overline{8}$$ | $$2{,}1\overline{6}$$ | $$0{,}5$$ | $$0{,}35$$ |
График состоит из двух ветвей и приближается к прямым $$x=3$$ и $$y=\frac16$$.
в)
Решим неравенство
$$\frac{n}{6(n-3)}>\frac14.$$
Так как $$n\ge 4$$, то $$n-3>0$$, можно умножить на $$12(n-3)$$:
$$2n>3(n-3),$$
$$2n>3n-9,$$
$$n<9.$$
При натуральных $$n\ge 4$$ наибольшее значение равно $$8$$.
г)
Нужно решить неравенство
$$\left|\frac{n}{6(n-3)}-\frac16\right|<0{,}01.$$
Преобразуем:
$$\left|\frac{n-(n-3)}{6(n-3)}\right|=\left|\frac{3}{6(n-3)}\right|=\frac{1}{2(n-3)}.$$
Тогда
$$\frac{1}{2(n-3)}<0{,}01=\frac{1}{100},$$
$$100<2(n-3),$$
$$50<n-3,$$
$$n>53.$$
Наименьшее натуральное $$n$$ равно $$54$$.
Ответ: а) $$y=\frac{x}{6(x-3)}$$; б) график этой функции; в) $$8$$; г) $$54$$.
