Упр.48.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц.
а) Сколько существует различных вариантов состава хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе.
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В.
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице.
а) Выбрать 5 певцов из 10 можно
$$C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!\,5!}=252.$$
Выбрать 3 певиц из 8 можно
$$C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=56.$$
Тогда число всех вариантов состава хора:
$$A=C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3}=252\cdot 56=14112.$$
б) Если певцы $$A$$ и $$Б$$ не могут петь вместе, то из всех способов выбрать 5 певцов исключим те, где оба они входят в состав хора.
Таких способов выбрать певцов:
$$C_{8}^{3}=56,$$
так как вместе с $$A$$ и $$Б$$ нужно выбрать ещё 3 певцов из оставшихся 8.
Значит, допустимых вариантов выбора певцов:
$$C_{10}^{5}-C_{8}^{3}=252-56=196.$$
Певиц по-прежнему выбираем $$C_{8}^{3}=56$$ способами. Тогда
$$A=(C_{10}^{5}-C_{8}^{3})\cdot C_{8}^{3}=196\cdot 56=10976.$$
в) Рассмотрим два случая.
- Певец $$A$$ и певица $$B$$ поют в хоре. Тогда остаётся выбрать ещё 4 певцов из 9 и 2 певиц из 7:
$$C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2}=126\cdot 21.$$
- Певец $$A$$ и певица $$B$$ не поют в хоре. Тогда остаётся выбрать 5 певцов из 9 и 3 певиц из 7:
$$C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3}=126\cdot 35.$$
Итак, общее число вариантов:
$$A=C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2}+C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3}=126\cdot 21+126\cdot 35=7056.$$
г) Если 6 певцов не могут петь, то остаётся 4 певца и 8 певиц. Значит, в хор нужно выбрать всех 4 оставшихся певцов и ещё 1 певицу вместо недостающего певца.
Число способов выбрать 1 певицу из 8:
$$C_{8}^{1}=8.$$
Число способов выбрать 3 певиц из оставшихся 7:
$$C_{7}^{3}=35.$$
Тогда
$$A=8\cdot C_{7}^{3}=8\cdot 35=280.$$
Ответ: а) $$14112$$; б) $$10976$$; в) $$7056$$; г) $$280$$.
