Упр.48.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$120 < А5(k-3) < 140$$; б) $$C2(6) < А2(n) < C2(8)$$; в) $$C2(10) < А2(х) < 60$$; г) $$C2(19) < А2(х) + C2(х) < 200$$.

а) $$120<A_{k-3}^{2}<140.$$

Так как $$A_{k-3}^{2}=\dfrac{(k-3)!}{(k-5)!}=(k-3)(k-4),$$ то

$$120<(k-3)(k-4)<140.$$

Проверим целые значения. При $$k=15$$ получаем

$$(15-3)(15-4)=12\cdot 11=132,$$

и это число лежит между $$120$$ и $$140$$. Следовательно, $$k=15.$$

б) $$C_6^2<A_n^2<C_8^2.$$

Имеем

$$C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15,\qquad C_8^2=\dfrac{8\cdot 7}{2}=28,$$

а также

$$A_n^2=n(n-1).$$

Тогда

$$15<n(n-1)<28.$$

Проверяем целые значения: при $$n=5$$

$$5\cdot 4=20,$$

что удовлетворяет неравенству. Значит, $$n=5.$$

в) $$C_{10}^2<A_x^2<60.$$

Вычислим:

$$C_{10}^2=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45,\qquad A_x^2=x(x-1).$$

Получаем

$$45<x(x-1)<60.$$

Проверяем целые значения: при $$x=8$$

$$8\cdot 7=56,$$

и это подходит. Следовательно, $$x=8.$$

г) $$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200.$$

Найдём выражение:

$$C_{19}^2=\dfrac{19\cdot 18}{2}=171,$$

$$A_x^2=x(x-1),\qquad C_x^2=\dfrac{x(x-1)}{2}.$$

Тогда

$$171<x(x-1)+\dfrac{x(x-1)}{2}<200,$$

$$171<\dfrac{3}{2}x(x-1)<200,$$

$$114<x(x-1)<133\dfrac{1}{3}.$$

Проверяем целые значения: при $$x=12$$

$$12\cdot 11=132,$$

что удовлетворяет неравенству. Значит, $$x=12.$$

Ответ: а) $$k=15$$; б) $$n=5$$; в) $$x=8$$; г) $$x=12$$.