Упр.48.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$C_x^3=A_x^2$$

$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{x!}{(x-2)!}$$

$$\frac{1}{3\cdot 2\cdot (x-3)!}=\frac{1}{(x-2)(x-3)!}$$

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{x-2}$$

$$x-2=6,\quad x=8.$$

б) $$C_x^4=A_x^3$$

$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}$$

$$\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot (x-4)!}=\frac{1}{(x-3)(x-4)!}$$

$$\frac{1}{24}=\frac{1}{x-3}$$

$$x-3=24,\quad x=27.$$

в) $$C_x^4=A_x^3+C_x^3$$

$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{3!(x-3)!}$$

Умножим на $$4!(x-4)!$$:

$$1=(x-3)+4$$

$$x-3=28,\quad x=31.$$

г) $$0{,}5A_x^4=3\left(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3\right)$$

$$\frac12\cdot \frac{x!}{(x-4)!}=3\left(\frac{(x-1)!}{((x-1)-3)!}+\frac{(x-1)!}{3!((x-1)-3)!}\right)$$

$$\frac{x!}{2(x-4)!}=3\left(\frac{(x-1)!}{(x-4)!}+\frac{(x-1)!}{3!(x-4)!}\right)$$

$$\frac{x(x-1)!}{2(x-4)!}=3\cdot \frac{(x-1)!}{(x-4)!}\left(1+\frac{1}{6}\right)$$

$$\frac{x}{2}=3\cdot \frac{7}{6}$$

$$x=7.$$

Ответ: а) $$8$$; б) $$27$$; в) $$31$$; г) $$7$$.