Упр.48.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$A_5(x)=18A_4(x-2)$$; б) $$A_2(x-1)-C_1(x)=79$$.

а) $$A_x^5=18A_{x-2}^4$$

По формуле $$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$$ получаем:

$$\dfrac{x!}{(x-5)!}=18\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

$$\dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)(x-6)(x-2)!}=18\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

Сократим и упростим:

$$\dfrac{x(x-1)}{x-5}=18$$

$$x(x-1)=18(x-5)$$

$$x^2-x=18x-90$$

$$x^2-19x+90=0$$

$$D=19^2-4\cdot 90=1$$

$$x_{1,2}=\dfrac{19\pm 1}{2}$$

$$x_1=9,\quad x_2=10$$

Оба значения подходят.

б) $$A_{x-1}^2-C_x^1=79$$

По формулам $$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$$ и $$C_n^1=n$$ имеем:

$$\dfrac{(x-1)!}{(x-3)!}-x=79$$

$$(x-1)(x-2)-x=79$$

$$x^2-3x+2-x=79$$

$$x^2-4x-77=0$$

$$D=4^2+4\cdot 77=324$$

$$x_{1,2}=\dfrac{4\pm 18}{2}$$

$$x_1=11,\quad x_2=-7$$

Так как $$x$$ — натуральное число и должно быть $$x\ge 3$$, подходит только $$x=11$$.

Ответ

а) $$x=9,\ 10$$; б) $$x=11$$.