Упр.48.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$C_3(x)=2C_2(x)$$;
2. $$C_{x-2}(x)=15$$;
3. $$C_2(x)+C_2(x+1)=49$$;
4. $$C_x(8)=70$$.

а) $$C_x^3=2C_x^2$$

$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}$$

$$\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{2}{2!(x-2)!}$$

$$\frac{1}{6(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)!}$$

$$x-2=6$$

$$x=8$$

б) $$C_x^{x-2}=15$$

$$\frac{x!}{(x-2)!\,2!}=15$$

$$\frac{x(x-1)}{2}=15$$

$$x(x-1)=30$$

$$x^2-x-30=0$$

$$D=1+120=121$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{2}$$

$$x_1=-5,\quad x_2=6$$

Так как $$x\ge 2$$, подходит только $$x=6$$.

в) $$C_x^2+C_{x+1}^2=49$$

$$\frac{x!}{2!(x-2)!}+\frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}=49$$

$$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x+1)x}{2}=49$$

$$\frac{x(x-1+x+1)}{2}=49$$

$$x^2=49$$

$$x=7$$

Так как $$x\ge 2$$, получаем $$x=7$$.

г) $$C_8^x=70$$

$$\frac{8!}{x!(8-x)!}=70$$

Проверим значение биномиального коэффициента:

$$C_8^4=\frac{8!}{4!\,4!}=70$$

Следовательно, $$x=4$$.

Ответ: а) $$8$$; б) $$6$$; в) $$7$$; г) $$4$$.